Intégrale d'une fonction négative

Définition

Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).
Soit \(f\) une fonction négative sur l'intervalle \([a~;~b]\). 
Soit \(\mathcal C\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal \(\left(\text O~;\vec{i},\vec{j}\right)\).
L'aire du domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe \(\mathcal C\) de \(f\) entre \(a\) et \(b\), exprimée en unités d'aire, est  \(\boxed{\displaystyle -\int_a^b f(x)\ \text d x}\).

Remarque

L'intégrale de la fonction \(f\) entre \(a\) et \(b\) est l'opposé de l'aire de la surface illustrée dans la figure suivante. Ainsi, lorsque \(f\) est négative sur \([a~;b]\), \(\displaystyle \int_a^b f(x)\ \text d x\leqslant 0\). 

Exemple

La fonction cube est négative sur l'intervalle \(]-\infty~;0]\). Dans un repère orthogonal du plan, l'intégrale \(-\displaystyle \int_{-\sqrt{10}}^{-1} x^3\ \text d x\) représente l'aire sous la courbe de la fonction cube entre \(-\sqrt{10}\) et \(-1\), en unités d'aire.